Mathematic Park

Programme 2018–2019

SAMEDI 13 OCTOBRE À 15H
GABRIEL PEYRÉ

LE TRANSPORT OPTIMAL :
DE GASPARD MONGE À LA SCIENCE DES DONNÉES

Résumé :
Le transport optimal a été formulé par Gaspard Monge au 18e siècle. Il s'agit d'optimiser le coût de transport depuis un ensemble de sources (par exemple les boulangeries) vers des consommateurs (par exemple les cafés, le matin dans Paris). Ce problème très ancien a connu plusieurs révolutions. Léonid Kantorovitch a expliqué en 1942 comment le reformuler en un problème plus facile à résoudre et étudier : il a obtenu le prix Nobel d'économie pour ses travaux. Dans les années 90, Yann Brenier, un mathématicien français, a établi un lien entre les travaux de Monge et Kantorovitch, et plus tard Cédric Villani a obtenu la médaille Fields (l'équivalent du prix Nobel) notamment pour ses travaux sur le transport optimal. Et depuis quelques années, des mathématiciens et informaticiens ont développé des techniques numériques révolutionnaires pour appliquer le transport optimal à d'innombrables problèmes concrets tels que le traitement d'images et l'intelligence artificielle. Dans cet exposé je ferai un tour d'horizon de ces différentes révolutions.

SAMEDI 10 NOVEMBRE À 15H
ANTOINE CHAMBERT-LOIR

BAISERS APOLLONIENS

Résumé :

SAMEDI 15 DÉCEMBRE À 15H
ANNA BEN-HAMOU

LES JOLIES MATHS DES GRAPHES PLANAIRES

Résumé : Un graphe planaire est un graphe que l'on peut dessiner sur une feuille sans que deux arêtes se croisent. De façon informelle, une carte planaire est un dessin planaire d'un graphe planaire. Dans cet exposé, nous présenterons (et dans la mesure du possible, démontrerons) certains résultats de la combinatoire des graphes et cartes planaires. Nous commencerons bien sûr par la formule d'Euler et ses conséquences, notamment une preuve du théorème de Sylvester-Gallai (a proof from the book). Nous nous intéresserons ensuite au dénombrement des cartes planaires et présenterons les méthodes récursives et bijectives conduisant à la formule de Tutte. Compter les graphes planaires (et non plus les cartes) s'avère bien plus complexe, mais Gimenez et Noy ont obtenu en 2008 un équivalent asymptotique du nombre de graphes planaires étiquetés. Nous nous intéresserons aussi à des questions plus probabilistes : à quoi ressemble un graphe planaire tiré uniformément au hasard ? Comment générer efficacement un graphe planaire uniforme ? Enfin, si le temps nous le permet, nous parlerons de marches aléatoires sur des graphes planaires.

SAMEDI 26 JANVIER À 15H
BLANCHE BUET

COURBURE, DU CONTINU AU DISCRET

Résumé :
La courbure d'une surface régulière dans l'espace euclidien est bien comprise depuis les travaux de Gauss, qui décomposa cette notion en une partie liée à la géométrie intrinsèque de la surface (courbure de Gauss) et une autre partie liée à la façon dont l'objet est placé (plongé) dans l'espace (courbure moyenne). En revanche, l'extension de la notion de courbure à des objets de nature discrète (on pourra penser à une surface discrétisée par une triangulation ou encore un nuage de points) est une question encore très ouverte, et contrairement au cas des surfaces régulières, les réponses apportées sont d'une grande diversité : il n'y a pas unicité d'une notion de courbure discrète. Dans notre exposé, on propose de décrire une approche variationnelle reposant sur la théorie des varifolds, en s'appuyant sur le cas particulier des courbes dans le plan pour lequel les aspects techniques s'avèrent plus accessibles.

SAMEDI 9 FÉVRIER À 15H
JOSSELIN GARNIER

ÉVÉNEMENTS RARES : COMMENT PRÉVOIR L'IMPRÉVISIBLE

Résumé :
La simulation d'événements rares implique l'estimation de probabilités extrêmement petites mais d'importance cruciale. Ce calcul des probabilités intervient dans diverses applications : finance, météorologie, etc. En ingénierie, il s'agit de garantir que des systèmes conçus pour un haut degré de fiabilité (avion, centrale nucléaire, éolienne) sont effectivement fiables et que leur défaillance a une probabilité faible. Obtenir une telle garantie n'est pas toujours simple : la simulation numérique permet de lancer des expériences, mais pas en nombre suffisant pour pouvoir sonder l'ensemble des possibilités. On verra différentes techniques qui permettent de pouvoir estimer des probabilités très faibles.

SAMEDI 16 MARS À 15H
AMIC FROUVELLE

PHÉNOMÈNES D'ALIGNEMENT :
BANCS DE POISSONS, NUÉES D'OISEAUX
ET OPINIONS POLITIQUES

Résumé : Peut-on décrire mathématiquement les phénomènes d'auto-organisation que l'on observe par exemple dans les nuées d'oiseaux, les bancs de poissons, les comportements économiques de nombreux agents ou même l'émergence de consensus ? Dans cet exposé, on s'intéressera à des modèles d'alignement où chaque individu tente de s'aligner avec certains de ses congénères. Le but est de montrer que l'on peut décrire dans certains cas le comportement global (« macroscopique ») du système résultant de l'ensemble des interactions dites « microscopiques» ). On présentera des exemples sur des modèles-jouets minimalistes, qui permettent toutefois d'appréhender une des grandes difficultés de ces études : l'absence de lois de conservation, si utiles pour décrire des caractéristiques de systèmes physiques (dans lesquels on peut par exemple avoir conservation de l'énergie ou de la quantité de mouvement après interaction).

SAMEDI 6 AVRIL À 15H
SAMUEL TAPIE

LE CHEMIN LE PLUS COURT N'EST PAS TOUJOURS DROIT :
LES GÉODÉSIQUES, DE PIERRE DE FERMAT À LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Résumé :
Qu'est-ce qu'une ligne droite ? Le chemin le plus court entre deux points ? Certainement pas entre Paris et New-York. La trajectoire suivie par la lumière ? Peut-être, mais pas lorsqu'elle traverse une vitre. Ni lorsqu'elle passe à proximité du soleil. Alors quoi ?
La ligne droite est le chemin le plus court entre deux points d'un espace plat ; espace bien pratique pour apprendre la géométrie depuis Euclide. Sorti de ce cadre, nous verrons que la notion de « ligne droite » doit être remplacée par celle de « géodésique », courbes que l'on rencontre un peu partout. Les trajectoires des bateaux bien sûr, ou d'un explorateur dans un marais... mais aussi celles de la lumière au dessus d'un désert ou celles des planètes et autres corps célestes, depuis qu'Einstein a introduit la Relativité Générale.
Nous essaierons d'introduire ces géodésiques de façon raisonnablement élémentaire, pour arriver si le temps le permet à des résultats plus récents sur la façon dont elles se comportent sur des espaces courbes lorsqu'elles deviennent très longues.

SAMEDI 18 MAI DE 10H À 17H

JOURNÉE MATHÉMATIQUES EN MOUVEMENT
MATHÉMATIQUES POUR LE CLIMAT

En partenariat avec la Fondation Sciences Mathématiques de Paris

Détails et inscriptions ici

Archives : 2010–2011, 2011–2012, 2012–2013, 2013–2014, 2014–2015, 2015–2016, 2016–2017, 2017–2018