Mathematic Park

Programme 2016–2017

SAMEDI 1 OCTOBRE À 15H
LESLIE LAMPORT

COMMENT ÉCRIRE UNE DÉMONSTRATION
AU 21ÈME SIÈCLE

Résumé :
Nous exposerons une nouvelle manière pour écrire les démonstrations avec laquelle il devient plus difficile de démontrer des résultats faux. Cette méthode, qui s'appuie sur la structuration hiérarchique, est simple et pratique. Mon expérience de vingt ans dans l'écriture de telles démonstrations viendra étayer mon propos.

SAMEDI 8 OCTOBRE À 15H
PIERRE VANHOVE

INVARIANCE MODULAIRE,
THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS ET TROUS NOIRS

Résumé :
Notre compréhension de la physique subatomique repose sur des modèles de physique microscopique construits dans le cadre de la théorie quantique des champs. Les principes de symétrie jouent un rôle fondamental. On demande, par exemple, que la quantification respecte les symétries de rotation et de translation de l'espace-temps. Parfois, de manière surprenante, certaines théories quantiques des champs possèdent des symétries cachées inattendues, dues à la relation entre le discret et le continu impliqué par le formalisme quantique.
Dans cet exposé, nous discuterons le cas de l'invariance modulaire qui joue un rôle central dans certaines théories de jauge, et aussi permet de comprendre la physique de trous noirs dans des théories de gravité quantique.

SAMEDI 19 NOVEMBRE À 15H
HUGO DUMINIL-COPIN

CHEMINS AUTO-ÉVITANTS
SUR LE RÉSEAU EN NID D'ABEILLE

Résumé :
Dans cet exposé, nous partirons à la découverte d'un modèle classique de physique statistique décrivant le comportement de polymères dans un solvant.

SAMEDI 10 DÉCEMBRE À 15H
PIERRE-ANTOINE GUIHENEUF

SYSTÈMES DYNAMIQUES TYPIQUES :
DE L'HYPOTHÈSE ERGODIQUE DE BOLTZMANN
JUSQU'AU MIXEUR DE VOTRE CUISINE

Résumé :
Bien souvent, les physiciens modélisent les systèmes concrets par quelques équations différentielles, et le travail des dynamiciens (mathématiciens spécialistes des systèmes dynamiques) est alors de décrire le comportement à long terme de ces systèmes abstraits.
Malheureusement, la réalité n'est (presque) jamais parfaitement traduite par ces modèles : il y a toujours de petites perturbations extérieures qui ne sont pas prises en compte lors de la modélisation, et a priori rien ne nous assure que cela ne change pas le comportement à long terme du système abstrait.
Pour contourner cette difficulté, on peut essayer de déterminer les propriétés de « la plupart » des systèmes dynamiques. Dans cet exposé, nous essaierons de comprendre le sens précis que les mathématiciens ont donné au terme « la plupart », et aborderons quelques exemples de théorèmes décrivant ces propriétés.

SAMEDI 25 FÉVRIER À 15H
DIMITRI ZVONKINE

LES DIAGRAMMES DE FEYNMAN OU
LE CALCUL D'INTÉGRALES GAUSSIENNES PAR L'ÉNUMÉRATION DES GRAPHES

Résumé :
La loi gaussienne est, comme on sait, la loi de probabilités la plus répandue. La formule de Wick permet de calculer l'espérance mathématique d'un monôme pour une loi gaussienne dans un espace vectoriel. Cette formule crée un lien étonnamment riche entre, d'une part, des problèmes combinatoires liés à l'énumération de graphes et, d'autre part, les intégrales gaussiennes. En passant en dimension infinie elle établit l'équivalence entre deux formulations de la théorie quantique des champs : l'une via les intégrales de chemins et l'autre via les diagrammes de Feynman.

SAMEDI 25 MARS À 15H
KIRONE MALLICK

ENTROPIE ET PHYSIQUE STATISTIQUE

Résumé :
L'entropie fut introduite en 1865 par R. Clausius, inspiré par les travaux de S. Carnot, pour formaliser le Second Principe de la Thermodynamique. De nombreux phénomènes macroscopiques, aussi bien en physique, en chimie, qu'en biologie, s'expliquent par le couple formé par l'énergie et l'entropie, « la maitresse du monde et son ombre ». Au cours de cet exposé, nous revisiterons le concept d'entropie à la lumière de développements récents dans l'\étude des systèmes hors d'équilibre et de l'information.

Télécharger ici les transparents de l'exposé.

SAMEDI 22 AVRIL À 15H
ÉMILIE KAUFMANN

OUTILS ET MODÈLES STATISTIQUES POUR
L'ALLOCATION SÉQUENTIELLE DE RESSOURCES

Résumé :
À l'ère du « Big Data » de nombreuses données sont collectées à chaque instant, et pour certaines tâches d'optimisation de contenu web, il est crucial de les prendre en compte au fur et à mesure de leur accumulation. Plus concrètement, des algorithmes décident à chaque seconde quelle version d'une page web, quelle publicité ou encore quel contenu vous montrer, en fonction de votre historique de navigation.
L'objectif de cet exposé est de présenter un modèle statistique simple, le modèle dit de bandit à plusieurs bras, permettant de décrire ce genre de problèmes de prise de décision séquentielle, et bien d'autres. Si le nom de ce modèle fait référence à un choix adaptatif de machines à sous (bandit à un bras) dans un casino, il a été introduit à l'origine pour la modélisation de l'allocation de traitement médical lors des essais cliniques. Dans ce modèle, nous verrons qu'on peut considérer différents objectifs, et pour chacun d'eux nous nous attacherons à proposer des stratégies d'allocation optimales. Ces dernières seront basés sur deux types d'outils : la construction d'intervalles de confiance, et l'utilisation d'outils issus des statistiques bayésiennes. À la fin de l'exposé, nous verrons comment ils peuvent être utilisés pour un problème d'allocation séquentielle de ressource plus complexe, celui de la construction d'une intelligence artificielle pour un jeu, où pour décider de la prochaine action à jouer, un algorithme explore de manière adaptative un arbre de jeu. Les outils associés au modèle de bandit ont en effet participé au récent succès d'Alpha Go.

Télécharger ici les transparents de l'exposé.

SAMEDI 13 MAI À 15H
DOMINIQUE PICARD

QUELQUES PARADIGMES MATHÉMATIQUES
POUR LES DONNÉES MASSIVES

Résumé :
Les données arrivent maintenant, on le sait, de façon massive. C'est le phénomène du Big Data qui pose des défis de tous ordres au monde moderne, au point que certains tenants de la « rationalité post-moderne » prétendent remplacer la logique humaine par une logique « statistique ». Les mathématiciens ont à l'évidence une carte importante à jouer pour comprendre, analyser et éventuellement résoudre ces nouveaux défis. Les informaticiens et les statisticiens sont pour l'instant à l'avant-point de ces problèmes, du à leur expérience en la matière de traitement des données, mais bien des questions dans ce domaine requièrent les compétences approfondies de diverses parties des mathématiques.
Nous décrirons, dans cet exposé, plusieurs aspects du traitement des données en grande dimension en nous attachant à indiquer ou décrire des liaisons possibles ou établies avec d'autres domaines des mathématiques. Nous parlerons en particulier du « Compressed sensing » ou comment reconstituer un signal à partir de seulement quelques projections linéaires. Nous introduirons les concepts de décodeur l1 et de conditions d'isométrie restreinte. Cela nous amènera vers la notion de concentration en probabilité et, en particulier, celle des grandes matrices aléatoires.
Nous parlerons ensuite de « sparsité », mot franglais dont l'acceptation française la plus proche est sans doute parcimonie. Nous relierons cette notion à la notion de régularité des fonctions (fonctions lipschitziennes par exemple) et de leur représentation dans diverses bases&nsbp;: base trigonométrique, base de Haar, base d'ondelettes et, plus généralement, base localisées associées à la diagonalisation d'un opérateur décrivant une géométrie.
Nous étendrons ces concepts au problème fondamental de la représentation des données, c'est-à-dire de leur transformation en un nombre (idéalement petit) de fonctions qui permettent d'en faire ressortir au mieux les phénomènes saillants. Cette partie nous permettra en particulier d'abord l'utilisation des Laplaciens de graphes.

SAMEDI 20 MAI

JOURNÉE MATHÉMATIQUES EN MOUVEMENT
ORDINATEUR QUANTIQUE

En partenariat avec la Fondation Sciences Mathématiques de Paris

Détails et inscriptions ici

Archives : 2010–2011, 2011–2012, 2012–2013, 2013–2014, 2014–2015, 2015–2016