Mathematic Park

Programme 2015–2016

SAMEDI 19 SEPTEMBRE À 15H
FILIPPO SANTAMBROGIO

MARIAGES STABLES, PRIX ÉQUITABLES
ET TRANSPORT DE SABLE

Résumé :
Plusieurs acheteurs doivent choisir un objet (par exemple, une maison de vacances), chacun avec ses critères (par exemple, sur la mer, et le plus proche possible de sa résidence principale). Si trop de monde veut le même, que se passe-t-il ? Quel sera le prix ?
Deux populations doivent s'associer en couples (par exemple, ça pourrait être des hommes et des femmes qui se marient), chacun ayant un certain intérêt pour chacun des autres. Quels couples se formeront de manière stable, c'est-à-dire sans que deux individus s'accordent pour s'associer en quittant leurs partenaires respectifs ?
Ces questions reposent sur la recherche d'un équilibre, où chaque individu cherche à maximiser sa propre utilité, mais sont en effet liées à l'optimisation de l'utilité totale. Et sont aussi liées à un problème classique appelé « transport optimal ». C'est le problème où de la masse doit être transportée d'une configuration à une autre, en dépensant le moins d'énergie possible. Transporter une particule de x à y se code mathématiquement de la même manière que marier M. x avec Mme. y, ou qu'attribuer la maison x à l'acheteur y.
Ce même problème a été popularisé par Gaspard Monge au 18e siècle, dans un cadre encore plus général, où le nombre de particules à transporter n'est même pas fini, mais on a affaire à une densité de masse continue, dans l'exemple particulier du déplacement optimal d'un tas de sable vers un trou donné (que Monge présente dans son Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais). Et c'est ce cadre théorique et continue qui fait maintenant, au 21e siècle, l'objet de plusieurs études mathématiques, du fait de ses connections avec de nombreux domaines, tels l'économie mathématique mais également la géométrie, les équations aux dérivées partielles, le traitement d'images...

SAMEDI 19 SEPTEMBRE À 19H30
JÉRÔME PÉREZ

LA PHYSIQUE DU RUGBY

Résumé :
Le rugby est un sport de plus en plus populaire ! Marqué de valeur de fraternité et de solidarité, il n'en demeure pas moins une activité tout à fait intéressante pour l'analyse scientifique. La forme du ballon ainsi que ses fréquents séjours en mouvement dans l'air au cours de trajectoires complexes et inattendues seront le prétexte d'une étude aérodynamique explicative. L'analyse de l'évolution de ce sport sur ces vingt dernières années mettra en lumière de nombreux phénomènes ou propriétés physiques utilisées de façon consciente ou non par ses pratiquants. Enfin quelques actions célèbres et spectaculaires seront décortiquées afin de mieux les comprendre.

SAMEDI 3 OCTOBRE À 15H
NICOLAS BERGERON

LA « SPHÈRE » DE POINCARÉ

Résumé :
La « sphère » de Poincaré est un espace à trois dimensions qui n'est pas une hypersphère (ou sphère de dimension 3) mais qui partage avec celle-ci beaucoup de propriétés « topologiques ». C'est un objet fascinant. Certains physiciens pensent même qu'elle prêterait sa forme à l'univers... J'essaierai de vous en dévoiler quelques mystères. Cela sera aussi l'occasion de parler de la célèbre conjecture de Poincaré démontrée en 2003 par Perelman. Il y aura beaucoup d'images et de films de Jos Leys.

SAMEDI 12 DÉCEMBRE À 15H
FRANÇOIS BRUNAULT

LA CONJECTURE DE BIRCH ET SWINNERTON-DYER
SUR LE RANG DES COURBES ELLIPTIQUES

Résumé :
En général, déterminer les solutions d'une équation polynomiale P(x,y)=0 (où P est un polynôme à coefficients entiers) en nombres rationnels x et y est une question extrêmement difficile : on sait y répondre complètement seulement lorsque le polynôme P est de degré 1 ou 2. Lorsque P est de degré 3, la courbe d'équation P(x,y)=0 est en général une courbe elliptique, et la « taille » de l'ensemble des solutions rationnelles est mesurée par un entier naturel appelé le rang de la courbe. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, formulée au début des années 1960, prédit que le rang dépend (de manière très subtile) uniquement de la donnée du nombre de solutions de l'équation P(x,y)=0 modulo p pour tout nombre premier p.
Dans cet exposé, nous expliquerons comment certaines expérimentations numériques ont conduit à une première version de la conjecture. Nous donnerons ensuite la formulation moderne de la conjecture en termes de fonction L, ainsi qu'un aperçu de certains outils utilisés dans l'étude de cas particuliers de cette conjecture.

SAMEDI 23 JANVIER À 15H
ALIN BOSTAN

COMPTER LES EXCURSIONS SUR UN ECHIQUIER

Résumé :
Imaginons un échiquier s'étendant à l'infini dans les directions Est et Nord, et supposons qu'un « roi biaisé » puisse se déplacer d'une case vers l'Est, l'Ouest, le Sud-Ouest ou le Nord-Est. Si ce roi part du coin inférieur gauche de l'échiquier, combien existe-t-il d'excursions, c'est-à-dire de chemins possibles qui le font revenir à son point de départ en un nombre fixé de pas ? En 2001, Ira Gessel, mathématicien de l'Université Brandeis aux États-Unis, conjectura une belle formule pour ce nombre de possibilités. Depuis l'énoncé de cette conjecture jusqu'à sa première preuve en 2008, qui utilisait de façon cruciale la puissance des ordinateurs, puis sa première démonstration purement humaine en 2013, beaucoup de mathématiciens se sont confrontés à ce problème par des approches très différentes. Dans cet exposé nous allons placer le problème dans un contexte plus large — le dénombrement de chemins confinés dans un cône —, le motiverons, et survolerons quelques résultats récents. En particulier, nous nous concentrerons sur la classification des marches à petits pas dans le quart de plan. Dans ce cadre, nous verrons que la suite des nombres des excursions vérifie une récurrence linéaire si et seulement si un certain groupe, associé à l'ensemble de pas autorisés, est fini.

SAMEDI 13 FÉVRIER À 15H
VIRGINIE BONNAILLIE-NOËL

LES MATHÉMATIQUES AU SERVICE DE LA SUPRACONDUCTIVITÉ

Résumé :
Dans cet exposé, nous expliquerons comment les mathématiques peuvent servir à comprendre un phénomène physique, prévoir le comportement de certains matériaux. Nous verrons également comment mêler des aspects théoriques et numériques pour mieux comprendre les matériaux supraconducteurs.

SAMEDI 12 MARS À 15H
SYLVAIN PERIFEL

P VS NP : QUELS PROBLÈMES PEUT-ON RÉSOUDRE EFFICACEMENT ?

Résumé :
La notion de « méthode automatique » de calcul intéresse les mathématiciens depuis longtemps, bien avant l'apparition du premier ordinateur. Au début, la principale question était de savoir si l'on peut tout calculer de cette manière. Puis, suite à l'apparition des premiers ordinateurs avec leurs capacités limitées, la question de la performance devint cruciale : que peut-on calculer efficacement avec ces machines ?
Certains calculs semblent a priori difficiles mais des méthodes efficaces pour les résoudre ont finalement été inventées. En revanche, d'autres calculs résistent aux efforts des informaticiens et on ne sait pas les résoudre rapidement : s'agit-il d'une limitation intrinsèque de nos ordinateurs, ou peut-on espérer trouver un jour des méthodes efficaces ?
Nous verrons les réponses subtiles que la théorie de la complexité algorithmique fournit à ces questions difficiles. L'histoire de cette aventure nous amènera notamment à aborder les problèmes suivants : qu'est-ce qu'un calcul efficace ? Peut-on prouver qu'il existe des calculs difficiles ? Est-il plus facile de vérifier une solution que de la trouver ? L'aléatoire permet-il d'accélérer les calculs ?

SAMEDI 9 AVRIL À 15H
MARIE THÉRET

LA PERCOLATION, UN MODÈLE MATHÉMATIQUE SIMPLE ET COMPLEXE À LA FOIS

Résumé :
Certaines roches sont poreuses et d'autres non. Certains métaux, qu'on dit ferromagnétiques, sont aimantés à température ambiante mais perdent brusquement leur aimantation quand on les chauffe. Dans cet exposé nous verrons comment modéliser mathématiquement ces phénomènes physiques. Au programme : un peu de physique statistique, des probabilités, des dessins et quelques simulations...

SAMEDI 7 MAI À 15H

MATHEMATIC PARK FÊTE SES CINQ ANS

 
SAMEDI 21 MAI DE 10H À 17H

JOURNÉE MATHÉMATIQUES ET IMAGERIE

En partenariat avec la Fondation Sciences Mathématiques de Paris

Détails et inscriptions ici

Archives : 2010–2011, 2011–2012, 2012–2013, 2013–2014, 2014–2015