Mathematic Park

Programme 2014–2015

SAMEDI 20 SEPTEMBRE À 15H
ELISE JANVRESSE

LA LOI DES SÉRIES : HASARD OU FATALITÉ ?

Résumé :

SAMEDI 15 NOVEMBRE À 15H
MATHIEU MERLE

QUELQUES PROPRIÉTÉS DE GRANDS GRAPHES ALÉATOIRES (CLAIRSEMÉS)

Résumé :
Il existe de nombreux exemples de grands réseaux complexes : réseaux de communication (e.g. internet), réseaux sociaux, etc... Le modèle le plus simple de graphe aléatoire a été introduit par Erdös et Rényi à la fin des années 50. Au cours des dernières décennies, la recherche sur le sujet s'est intensifiée et des généralisations du modèle d'Erdös-Rényi, ainsi que d'autres modèles ont été introduits et étudiés.
L'intérêt récent pour ces modèles vient en particulier du fait qu'ils possèdent certaines des propriétés très communément observées dans les réseaux complexes :
(1) dès qu'ils sont suffisamment connectés, on observe l'émergence d'une unique composante "géante" regroupant une proportion positive des noeuds.
(2) la distance entre deux noeuds typiques de la composante géante reste très petite comparativement au nombre de noeuds : c'est l'effet "petit monde".
(3) dès que le graphe est assez grand, la distribution des degrés de ses noeuds ne dépend que très peu de la taille du graphe.
(4) cette distribution est souvent une loi puissance.
Après avoir introduit le modèle, puis effectué des préliminaires importants sur les processus de branchement, et enfin expliqué les définitions mathématiques des propriétés (1)-(4), on donnera l'idée de la preuve des trois premières pour le graphe d'Erdös-Rényi. La quatrième propriété n'est en revanche pas satisfaite par ce modèle, on donnera donc quelques exemples de généralisations, ou d'autres modèles qui peuvent la satisfaire.

SAMEDI 13 DÉCEMBRE À 15H
ISABELLE GALLAGHER

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES :
UN PROBLÈME DU MILLÉNAIRE

Résumé :
Les équations de Navier-Stokes datent du début du 19ème siècle, et décrivent l'évolution au cours du temps de fluides visqueux. Elles sont couramment utilisées dans la prévision météorologique ou océanographique, dans l'étude d'écoulements autour d'ailes d'avion, et dans de nombreux autres contextes. Néanmoins on ne sait toujours pas aujourd'hui si ses solutions peuvent développer des singularités en temps fini, et cette question est d'ailleurs l'un des sept problèmes du Millénaire en mathématiques proposés par la Fondation Clay en 2000.
Dans cet exposé nous expliquerons la formulation des équations de Navier-Stokes ainsi que leurs principales caractéristiques. Nous mettrons en évidence les difficultés mathématiques liées à leur résolution, et les éventuelles conséquences dans l'utilisation de ces équations en Physique.

Télécharger ici les transparents de l'exposé.

SAMEDI 17 JANVIER À 15H
OLIVIER WITTENBERG

DE LA TOPOLOGIE AUX CORPS FINIS :
AUTOUR DES CONJECTURES DE WEIL

Résumé :
Les conjectures de Weil, énoncées à la fin des années 1940, constituèrent l'une des motivations principales pour le travail de Grothendieck en géométrie algébrique dans les années 1950 et 1960. Ces conjectures relient des objets mathématiques vivant dans des mondes a priori très lointains : d'un côté, les nombres de solutions d'équations polynomiales dans les corps finis, et de l'autre, les invariants topologiques associés à certains objets géométriques (courbes, surfaces, « variétés topologiques »). Cet exposé visera à introduire les concepts en jeu et à expliquer la formulation des conjectures de Weil.

SAMEDI 7 FÉVRIER À 15H
XAVIER BUFF

OÙ SONT LES ZÉROS DES POLYNÔMES ?

Résumé :
Le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 1 possède au moins un zéro complexe. Localiser les zéros d'un polynôme donné n'est pas toujours facile. Mais que peut-on dire si on se donne une famille de polynômes ? Par exemple, considérons la famille des polynômes dont les coefficients sont égaux soit à 1 soit à -1. Que peut-on dire de l'ensemble des zéros de tous ces polynômes ? Si l'on trace cet ensemble, on voit apparaître une structure fractale. Le but de l'exposé est de comprendre pourquoi est d'expliquer quelques résultats récents dans ce domaine. Que se passe-t-il si l'ensemble des coefficients peut prendre trois valeurs ? Y a-t-il d'autres moyens de générer des familles de polynômes pour lesquels l'ensemble des zéros fait apparaître une structure fractale ?

SAMEDI 7 MARS À 15H
JEAN-CHRISTOPHE FILLIÂTRE

VÉRIFICATION DÉDUCTIVE DES PROGRAMMES

Résumé :
L'histoire du logiciel, pourtant relativement courte, est déjà émaillée d'un grand nombre de faillites célèbres. Notre quotidien lui-même est régulièrement affecté par des erreurs logicielles et le mot « bug » est passé sans mal dans le langage courant. Cet exposé donnera une introduction à la vérification déductive de programmes, une activité visant à établir de manière irréfutable la correction d'un programme par une série de déductions logiques mécanisées.

SAMEDI 11 AVRIL À 15H
JOHN CHAUSSARD

COMMENT UN ORDINATEUR PEUT COMPRENDRE LE CONTENU D'UNE IMAGE ?

Résumé :
L'être humain possède un cerveau très efficace pour le traitement de l'image, que ce soit pour y reconnaître des mots ou différentes formes : savoir si une image contient du texte, un visage, ou y détecter un objet en particulier sont des tâches que l'on fait constamment et sans difficulté. Faire réaliser ces mêmes tâches à l'ordinateur s'avère plus complexe. En effet, pour la machine, une image est une une matrice de nombres. Il faut alors utiliser différentes opérations mathématiques permettant d'extraire des données numériques de l'image afin que l'ordinateur puisse y effectuer un traitement automatisé.
Comment l'appareil photo parvient-il à détecter automatiquement des visages dans les images ? Comment Google parvient-il à classer les images de sa base de données en fonction du contenu des images ? Comment détecter des objets d'intérêt dans une image ? Dans cet exposé, nous verrons différentes techniques développées ces dernières années pour automatiquement améliorer une image ou en extraire des informations utiles, avec parfois des solutions extrêmement simples et efficaces.

LUNDI 4 MAI À 18H30
IVAN CORWIN (Prix Poincaré 2014)

UNIVERSAL PHENOMENA IN RANDOM SYSTEMS

Résumé :
More than 200 years ago, the Gaussian distribution was discovered by De Moivre (and again by Laplace) from analyzing the binominal distribution arising from coin flips. This distribution is the basis for classical statistics and arises is many different types of physical and mathematical systems. There are, however, many systems for which classical statistics fails and new distributions arise. These distributions are also universal within certain classes of systems. In this talk we will begin to describe where these universal probability distributions come from, what they describe and why they are important. We will touch on many applications such as big data, random growth, traffic flow and more.

L'exposé sera donné en anglais. Une traduction simultanée sera proposée aux inscrits présents dans la salle.

SAMEDI 6 JUIN DE 10H À 17H

JOURNÉE BIG DATA

En partenariat avec la Fondation Sciences Mathématiques de Paris

Détails et inscriptions ici

Archives : 2010–2011, 2011–2012, 2012–2013, 2013–2014