Programme de l'année 2013–2014

LE PROBLÈME DES DISTANCES D'ERDÖS

Résumé :
À partir de n points du plan, on peut mesurer n(n-1)/2 distances mais combien d'entre elles sont distinctes ? Erdös a conjecturé en 1946 que le nombre minimal de distance distincts pour toutes les configurations de n points du plan est « presque de l'ordre de n ». A partir de remarques géométriques élémentaires, d'arguments de dénombrement et d'un peu de théorie des graphes, on montre quelques résultats intermédiaires dont certains très récents au sujet de cette conjecture.

FRACTALES ALÉATOIRES

LA PLUS LONGUE SOUS-SUITE CROISSANTE D'UNE PERMUTATION ALÉATOIRE

Résumé :
Combien de cartes faut-il déplacer au minimum pour trier un jeu de cartes mélangé ? Reformulée en termes mathématiques, cette question amène à regarder la longueur de la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire. Bien que simple à formuler, ce problème fait apparaître de nombreux outils mathématiques plus ou moins sophistiqués : double-compte, principe des tiroirs, tirage de points aléatoires...

MATHÉMATIQUES, RAISONNEMENTS INDUCTIFS ET INTELLIGENCE ARTIFICIELLE

Résumé :
Les problèmes de raisonnement inductif ou d'extrapolation comme « deviner la suite d'une série de nombres », ou plus généralement, « comprendre la structure cachée dans des observations », sont fondamentaux si l'on veut un jour construire une intelligence artificielle. On pourrait avoir l'impression que ces problèmes ne sont pas mathématiquement bien définis, or il existe une théorie mathématique rigoureuse du raisonnement inductif et de l'extrapolation, fondée sur des principes de théorie de la calculabilité. Cette théorie a été définie il y a 50 ans par Ray Solomonoff, mais on commence seulement à avoir des outils mathématiques pour l'appliquer en pratique, grâce à des techniques de probabilités, de compression de données, de géométrie différentielle, de théorie de l'information. On donnera les premières propriétés mathématiques ainsi que quelques exemples inspirés de l'intelligence artificielle.

JEUX ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Résumé :
Dans cet exposé on présentera le lien entre certains jeux très simples et les solutions d'équations aux dérivées partielles, suivant en cela la théorie du contrôle optimal. Cela incluera des cas classiques, ainsi que la présentation de certains exemples récents.

AUTOUR DE L'INSTABILITÉ DE TURING :
MATHÉMATIQUES ET MORPHOGÉNÈSE

Résumé :
L'apparition d'une structure spatiale (motifs) dans de nombreux phénomènes naturels (taches sur le pelage des animaux, dunes alignées dans les deserts, etc.) peut se comprendre à partir de modèles mathématiques simples, dont le plus emblématique est l'instabilité de Turing. On présentera en les termes les plus élémentaires possibles les concepts mathématiques permettant de comprendre cette instabilité (linéarisation des systèmes différentiels autonomes, valeurs propres des matrices 2 x 2, diffusion comme limite de marches aléatoires simples). On présentera aussi quelques resultats de simulations.

SINGULARITÉS DES ÉCOULEMENTS EN EAU PEU PROFONDE

Résumé :
L'objectif de cet exposé est de décrire le comportement qualitatif des solutions du système de Saint-Venant gouvernant l'écoulement d'une couche mince de fluide incompressible. Pour simplifier, on considérera en fait un modèle scalaire qui présente le même type de phénoménologie, c'est-à-dire pour lequel on observe en temps fini l'apparition de singularités correspondant à des chocs. La propagation des ondes de choc peut en fait être prédite par la même équation aux dérivées partielles pourvu qu'on définisse une notion très faible de dérivée. On introduira ainsi de façon élémentaire le concept de distribution.

VOYAGE AU PAYS DES GRAPHES

Résumé :
Comment faire pour réaliser un emploi du temps efficace ? Combien de crayons de couleurs a-t-on besoin pour colorier « joliment » la carte du monde ? Comment sauver un musée des flammes ? Ces problèmes cachent derrière leurs différences un objet mathématique commun : un graphe. Nous partirons à la découverte de cet objet et rencontrerons quelques uns des problèmes classiques qui le concernent, certains vieux d'un siècle, d'autres âgés seulement d'une dizaine d'années ! Alors que quelques uns ont été résolus, plus ou moins facilement, la plupart sont tenaces et ne se laissent pas dompter facilement, malgré leur simplicité apparente... Venez accompagnés de vos crayons de couleurs.

PROCESSUS DÉCISIONNELS DE MARKOV

Résumé :
Une chaîne de Markov est un système dynamique aléatoire; l'état au temps t+1 dépend de l'état au temps t et d'un tirage au sort. Les chaînes de Markov modélisent un grand nombre de problèmes, météorologie, processus industriel, ou même des modèles démographiques. Ajouter le concept de décision conduit à un processus décisionnel de Markov : l'état au temps t+1 dépend (1) de l'état au temps t, (2) d'un tirage au sort et (3) de la décision prise. On parle alors de processus décisionnel de Markov. On peut aussi ajouter la notion de récompense ; par exemple, pour un système économique, il peut s'agir d'argent engrangé. Pour un système industriel, il peut s'agir de pollution (récompense ici négative). Il peut éventuellement y avoir plusieurs plusieurs acteurs prenant des décisions (ayant des objectifs différents éventuellement, voire totalement antagonistes, comme souvent dans les jeux). Il peut aussi y avoir une difficulté d'observation : on doit alors prendre une décision en ne connaissant qu'une partie de l'état.
On discutera les modèles (beaucoup), la théorie (les grandes lignes) et le champ d'application (brièvement).