Mathematic Park

Programme de l'année 2011-2012

SAMEDI 1 OCTOBRE À 15H
AMINE MARRAKCHI

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS
ALGÉBRIQUES DE DEGRÉ 3 ET 4

Résumé :
Pour étudier les équations algébriques, Galois proposa une approche radicalement nouvelle basée sur un lien fécond avec la théorie des groupes, théorie qu'il a lui même initiée à dessein.
À travers la présentation des différentes méthodes de résolution des équations algébriques de petit degré, on comprend pourquoi l'étude de la résolubilité des équations algébriques en général conduit naturellement à s'intéresser aux propriétés des groupes symétriques.
L'exposé, accessible au plus grand nombre, servira d'introduction à une étude ultérieure de la théorie de Galois proprement dite.

Télécharger ici les transparents de l'exposé
et trouver ici un article reprenant le contenu de cet exposé.

AGNÈS DAVID

LA THÉORIE DES ÉQUATIONS SELON GALOIS

Résumé :
Les solutions d'une équation polynomiale peuvent-elles s'exprimer à partir de ses coefficients, des opérations usuelles (addition, soustraction, multiplication, division) et d'extraction de racines ? L'exposé précédent apporte une réponse positive (avec des formules explicites) à cette question pour les équations de degré inférieur ou égal à 4. C'est en résolvant ce problème pour tout degré qu'Évariste Galois jette les bases de la théorie qui porte aujourd'hui son nom.
En suivant sa construction, on donnera d'abord la définition du « groupe de Galois » d'une équation en terme de permutations de ses racines. On verra ensuite comment les propriétés de ce nouvel objet algébrique reflètent exactement celles de l'équation : ce lien est appelé aujourd'hui « correspondance de Galois ». On reviendra enfin à la question initiale en exprimant, à l'aide de cette correspondance, le critère de résolubilité par radicaux. On comprendra alors pourquoi, en général, une équation de degré supérieur ou égal à 5 n'est pas résoluble par radicaux.

SAMEDI 15 OCTOBRE À 15H
GUÉNAËL RENAULT

INTRODUCTION À L'ALGORITHMIQUE GALOISIENNE

Résumé :
Les liens entre les travaux de Galois et l'algorithmique algébrique ont toujours été très féconds. Ils ont permis le développement de méthodes effectives en théorie de Galois d'un côté et d'applications pratiques très importantes de l'autre (codes correcteurs d'erreurs et cryptologie par exemples).
Les exposés précédents nous ont montré comment les travaux de Galois ont permis d'établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation algébrique soit résoluble par radicaux. Cette condition est liée à la nature du groupe de Galois de cette équation. Dans cet exposé, nous montrerons comment calculer ce groupe. Nous verrons que les outils de base pour élaborer un tel algorithme étaient déjà présents dans les premiers ouvrages traitant de la théorie de Galois. Aussi, nous présenterons quelques applications de nature algorithmique et questions ouvertes liées aux résultats vus dans cette suite d'exposés.

L'exposé sera suivi d'une visite de l'exposition Évariste Galois : un mathématicien dans l'histoire

SAMEDI 19 NOVEMBRE À 15H
WENDELIN WERNER

FONCTIONS HARMONIQUES ET PROBABILITÉS

Attention : L'exposé aura lieu exceptionnellement à Jussieu, amphi 41B (télécharger ici un plan)

Résumé :
On essaiera d'illustrer, via l'étude des fonctions harmoniques et la recherche des solutions du classique problème de Dirichlet (chercher une solution harmonique dans un domaine prenant des valeurs prescrites au bord de celui-ci), la variété et la complémentarité d'approches analytiques, algébriques et/ou probabilistes.

SAMEDI 10 DÉCEMBRE À 15H
JULIETTE VENEL

MOUVEMENTS DE FOULE

Résumé :
Prévoir les déplacements des piétons lors des évacuations afin d'assurer leur sécurité, tel est le principal objectif de la modélisation des mouvements de foule. Les simulations numériques d'évacuations sont de plus en plus demandées pour estimer la durée d'évacuation, prédire les zones où les individus seront fortement concentrés et éviter dans la mesure du possible les situations d'écrasement où des personnes sont blessées parfois mortellement. Ces situations sont donc caractérisées par des configurations très denses en individus présentant de nombreux contacts. Nous proposerons un modèle de mouvements de foule traitant directement ces contacts, puis nous expliquerons comment approcher la solution de ce problème et enfin nous présenterons des simulations numériques associées.

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SAMEDI 14 JANVIER À 15H
PATRICK DEHORNOY

À QUOI SERT L'INFINI ?

Résumé :
Qu'il faille faire appel à des outils infinis pour démontrer des propriétés d'objets infinis n'est pas tres étonnant. Par contre, il est moins intuitif que des outils infinis puissent servir à démontrer des propriétés des nombres entiers — et encore moins que l'usage de tels outils puisse s'avérer indispensable. En un sens, c'est ce qu'affirmait depuis 1931 le célèbre théorème d'incomplétude de Gödel, mais, durant des décennies, les applications concrètes sont restées limitées. Aujourd'hui, on en sait davantage, et on peut facilement décrire des exemples simples où l'usage de l'infini est nécessaire.

SAMEDI 4 FÉVRIER À 15H
VALÉRIE BERTHÉ

FRACTIONS CONTINUES ET TRACÉS DE DROITES

Résumé :
Tracer une droite sur un écran d'ordinateur est l'une des problématiques les plus naturelles de la géométrie discrète. Nous allons voir comment le traitement de cette question se fait à travers la très belle interaction entre arithmétique, théorie ergodique et combinatoire des mots que permet l'algorithme classique des fractions continues : il relie les propriétés arithmétiques d'un nombre irrationnel à l'étude des propriétés ergodiques d'une rotation du cercle unité, et de la dynamique symbolique d'une classe de mots sur deux lettres, les mots sturmiens, qui codent les tracés de droites sur écran.

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SAMEDI 10 MARS À 15H
GILLES STOLTZ

COMMENT TIRER PROFIT DE L'EMBARRAS DU CHOIX
FACE À PLUSIEURS MODÈLES DE PRÉVISION CONCURRENTS ?

Résumé :
Grâce aux efforts de nos collègues (géo)physiciens, chimistes, etc., nous avons de nos jours plusieurs modèles à disposition pour prévoir la météo ou la qualité de l'air (cf. par exemple le bulletin qualité de l'air sur France à 19h20 les soirs...). Oui, mais qui dit plusieurs modèles (souvent issus d'équipes concurrentes) dit embarras du choix : faut-il sélectionner l'un d'entre eux, le « meilleur » et jeter les autres à la poubelle ? J'illustrerai comment on peut tirer profit de tous les modèles à la fois, en les combinant pour obtenir une prévision dite agrégée. Le cadre retenu sera un cadre de prévision séquentielle et déterministe (tranchant avec le cadre probabiliste habituellement considéré par de nombreux collègues statisticiens).

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SAMEDI 31 MARS À 15H
XAVIER CARUSO

ÉQUATIONS DE DEGRÉ 2 ET NOMBRES p-ADIQUES

Résumé :
Les nombres p-adiques sont des nombres, écrits en base p, qui — contrairement aux nombres réels usuels — ont une infinité de chffres avant la virgule et qu'un nombre fini après ! Introduits par Kurt Hensel en 1897, ils ont pris une importance grandissante au cours du temps jusqu'à jouer aujourd'hui un rôle central dans de nombreux domaines de l'arithmétique.
Dans cet exposé, j'expliquerai les mécanismes de cette symbiose et en illustrerai les principes en détaillant l'exemple historique de la résolution des équations de degré 2 : je montrerai comment on peut utiliser les nombres p-adiques pour décider si une équation de degré 2 en plusieurs variables a, oui ou non, des solutions en nombres rationnels.

SAMEDI 5 MAI À 15H
VINCENT BANSAYE

PROCESSUS DE BRANCHEMENT POUR L'ÉCOLOGIE

Résumé :
Nous nous intéresserons à un modèle de dynamique de population simple qui prend en compte l'aspect aléatoire de la reproduction. Il est appelé « processus de Galton Watson » et présente déjà un certain nombre de difficultés. Nous déterminerons ici quand la population peut survivre, et avec quelle probabilité. Ensuite, nous essaierons de prendre aussi en compte les variations aléatoires de l'environnement et la façon dont elles affectent la population et présenterons quelques résultats ou questions plus sophistiqués. Enfin nous évoquerons peut être des modèles faisant intervenir des proies ou des prédateurs.

SAMEDI 26 MAI À 15H
HÉLÈNE EYNARD

FEUILLETAGES ET DYNAMIQUE SUR L'INTERVALLE

Résumé :
Dans cet exposé, je m'intéresserai à deux types d'objets : les feuilletages du plan par des courbes et les feuilletages de l'espace (à 3 dimensions) par des surfaces. Un tel feuilletage est, en quelques mots, une façon de remplir le plan (resp. l'espace) par des courbes (resp. surfaces) lisses disjointes qui sont localement « gentiment empilées les unes sur les autres ». Ces objets très visuels, nés de l'étude des équations différentielles, sont au cœur d'une théorie très riche, à l'interface entre divers domaines des mathématiques (topologie, analyse, algèbre, arithmétique...). Nous verrons comment les définir, comment en construire, et surtout comment les décrire et les distinguer entre eux. Nous verrons alors que ces objets, en apparence très flexibles (on a beaucoup de degrés de liberté lorsqu'on construit un feuilletage), ont aussi une certaine forme de rigidité (on ne peut pas non plus faire n'importe quoi).

Archives : 2010–2011