Mathematic Park

Programme de l'année 2010–2011

SAMEDI 5 FÉVRIER 2011 À 15H
PIERRE PANSU

CONTAGION ET ROUE DE VÉLO

Attention : munissez-vous d'une calculette !

Résumé :
Aïe, un virus circule sur mon réseau local d'ordinateurs ! Dans le pire des cas, combien de câbles vais-je devoir couper pour protéger les ordinateurs encore sains ? Cela s'appelle calculer le MAX CUT de mon réseau. On expliquera en quoi ce problème est difficile, pourquoi la recherche d'une solution approchée reste aussi difficile, et le lien entre MAX CUT et mon vélo qui roule dans les flaques d'eau.

SAMEDI 5 ET 19 MARS 2011 À 15H
MICHEL  BALAZARD

LES MÉTHODES D'ANALYSE RÉELLE DANS
L'ÉTUDE DE LA RÉPARTITION DES NOMBRES PREMIERS

Résumé :
Le théorème des nombres premiers affirme que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent à x/ln(x) quand x tend vers l'infini. La démonstration originale d'Hadamard et la Vallée Poussin (1896) s'appuyait sur les idées de Riemann, notamment l'utilisation de la théorie des fonctions d'une variable complexe. Ce n'est qu'en 1948 qu'Erdös et Selberg ont decouvert une voie d'accès à ce résultat fondamental dans le cadre de l'analyse réelle.
Je décrirai les grandes lignes de leur démonstration, dont les idées continuent à être développées et perfectionnées de nos jours.

SAMEDI 2 AVRIL 2011 À 15H
ANNE-LAURE DALIBARD

UN MODÈLE D'INTERACTION PROIES-PRÉDATEURS :
LES ÉQUATIONS DE LOTKA-VOLTERRA

Résumé :
On s'intéresse ici à un système d'équations différentielles proposé indépendamment par Lotka et Volterra pour modéliser certains systèmes biologiques et expliquer, par exemple, l'évolution des volumes de pêche dans la Méditerranée. Sur ce modèle simple, on peut mener une analyse qualitative poussée ; en particulier, on montrera (sans faire de calculs compliqués !) que les solutions du système sont périodiques en temps, et on analysera la stabilité des points d'équilibre.

SAMEDI 30 AVRIL 2011 À 15H
FRÉDÉRIC LE ROUX

JEU DE HEX ET THÉORÈME DE BROUWER

Avec en première partie, à 14h30, une intervention de Cédric Villani !

Résumé :
Le jeu de Hex est un jeu de réflexion à deux joueurs. Le joueur bleu et le joueur jaune posent à tour de rôle leurs pions, un à un, sur le plateau en forme de losange. Pour gagner, un joueur, par exemple le bleu, doit relier les deux côtés bleus par un chemin de pions bleus.
Au jeu de Hex, il n'y a jamais de partie nulle. J'expliquerai comment on peut utiliser ceci pour montrer le célèbre théorème de Brouwer : toute application continue du carré dans lui même a au moins un point fixe.

SAMEDI 14 MAI 2011 À 14H
JULIEN MARCHÉ

NŒUDS ET DIAGRAMMES DE GAUSS

Attention ! Exceptionnellement l'exposé aura lieu à 14h.

Résumé :
Si on dessine sur une feuille de papier une courbe fermée et nouée dans l'espace, on obtient généralement une courbe régulière du plan où se croisent en certains points deux branches, l'une passant dessus, l'autre dessous. Pour chaque croisement on choisit une couleur (différente pour chaque croisement) et on colorie un peu les deux branches qui se croisent en ce point. Enfin on coupe la courbe quelque part ce qui permet de dénouer la courbe.
On obtient finalement ce qu'on appelle un diagramme de Gauss: un segment avec des zones de même couleur venant par paires. Quel renseignement peut-on déduire de la courbe nouée initiale ? Ce problème initié par Gauss puis Whitney a connu un grand développement dans les années 1990 avec la théorie des invariants de type fini dont je décrirai certains aspects.

SAMEDI 28 MAI 2011 À 15H
JEAN-FRANÇOIS MESTRE

CODES CORRECTEURS D'ERREURS

Résumé :
Que ce soit pour transmettre des images ou du son, via des supports numériques comme des CD, DVD, ou une liaison satellite, ADSL ou WIFI, ainsi que dans la téléphonie mobile, on a besoin de méthodes efficaces pour détecter puis corriger les erreurs de transmission. Nous décrirons ici les codes correcteurs les plus utilisés, les mathématiques en jeu allant de la théorie des probabilités à la géométrie, aussi bien euclidienne que sur les corps finis.

SAMEDI 11 JUIN 2011 À 15H
GRÉGORY MIERMONT

COMPTER LES MARCHES AUTO-ÉVITANTES DANS LE PLAN,
UN PROBLÈME ETONNAMMENT COMPLEXE

Résumé :
Dans un graphe, une marche est une suite de sommets, dont deux sommets consécutifs quelconques sont reliés par une arête. Combien y a-t-il de marches de longueur n issues de l'origine d'un graphe tracé dans le plan, par exemple la grille Z^2 ? C'est facile, il y en a 4^n : à chaque pas, on a 4 choix possibles, un pas à l'Est, au Nord, à l'Ouest ou au Sud.
Mais si l'on ajoute la contrainte que les sommets de la marche soient distincts deux à deux ? Le problème devient alors beaucoup plus difficile, et occupe depuis de nombreuses années les experts de divers domaines des mathématiques : combinatoire, probabilités, physique mathématique...
On exposera d'abord quelques techniques générales de combinatoire, puis on donnera la preuve (complète !) d'un résultat récent de Hugo Duminil-Copin et Stanislav Smirnov, sur le comportement asymptotique du nombre de marches auto-évitantes sur le réseau hexagonal plan. Les nombres complexes y tiendront un rôle qui peut paraître surprenant.